Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung

Inhaltsverzeichnis:

Erstes Kapitel Vorbemerkungen über analytische Geometrie und Vektorrechnung.- § 1. Rechtwinklige Koordinaten und Vektoren.- Koordinatensysteme..- Richtungen und Vektoren. - Koordinatentransformation..- Die innere Multiplikation von Vektoren..- Die Gleichungen der Geraden und der Ebene.- § 2. Dreiecksinhalt, Tetraedervolumen und äußere Vektormultiplikation..- Dreiecksinhalt..- Äußere Multiplikation zweier Vektoren..- Das Tetraedervolumen..- §3. Die einfachsten Tatsachen über zwei-und dreireihige Determinanten.- Bildungsgesetze und Haupteigenschaften..- Anwendung auf lineare Gleichungen..- § 4. Die affinen Abbildungen und der Determinantenmultiplikationssatz.- Affine Abbildung der Ebene und des Raumes..- Die Zusammensetzung affiner Abbildungen und die Reduktion der allgemeinen affinen Abbildung..- Die geometrische Bedeutung der Transformationsdeterminante und der Multiplikationssatz..- Zweites Kapitel Funktionen mehrerer Veränderlicher und ihre Ableitungen.- § 1. Der Funktionsbegrif f bei mehreren Veränderlichen.- Funktionen und ihr Definitionsbereich..- Die einfachsten Typen von Funktionen..- Geometrische Veranschaulichung der Funktionen..- §2. Stetigkeit.- Definition..- Der Grenzbegriff bei mehreren stetigen Veränderlichen..- Beispiele für Unstetigkeitsstellen..- Die Größenordnung des Verschwindens einer Funktion..- § 3. Die Ableitungen einer Funktion.- Definition. Geometrische Veranschaulichung..- Existenz der partiellen Ableitungen nach x und y und Stetigkeit..- Die Vertauschbarkeit der Reihenfolge bei der Differentiation..- § 4. Das vollständige Differential einer Funktion und seine geometrische Bedeutung.- Der Begriff der Differenzierbarkeit..- Differentiation nach einer gegebenen Richtung..- Geometrische Deutung. Tangentialebene..- Das vollständige Differential oder der lineare Anteil einer Funktion..- Anwendung auf die Fehlerrechnung..- § 5. Zusammengesetzte Funktionen und Einführung neuer unabhängiger Veränderlicher.- Allgemeines. - Kettenregel..- Be ispiele..- Einführung neuer unabhängiger Veränderlicher..- § 6. Der Mittelwertsatz und der TAYLORSCHE Satz bei mehreren unabhängigen Veränderlichen.- Problemstellung und Vorbereitungen..- Der Mittelwertsatz..- Die TAYLORsche Formel für mehrere unabhängige Veränderliche..- § 7. Anwendungen des Vektorbegriffes.- Vektorfelder und Vektorscharen..- Anwendung auf die Theorie der Kurvenkrümmung. Zerlegung einer Bewegung in Tangential- und Normalkomponente..- Der Gradient eines Skalars..- Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes..- Anhang zum zweiten Kapitel.- § 1. Das Häufungsstellenprinzip in mehreren Dimensionen und seine Anwendungen.- Formulierung des Häufungsstellenprinzips..- Einige Begriffe der Punktmengenlehre..- Der Überdeckungssatz..- § 2. Nähere Diskussion des Grenzbegriffes bei mehreren Veränderlichen.- Doppelfolgen und ihre Grenzwerte..- Doppellimes bei stetigen Veränderlichen..- Der Satz von DINI über die gleichmäßige Konvergenz monotoner Funktionsfolgen..- § 3. Homogene Fu nktionen.- Drittes Kapitel Ausbau und Anwendungen der Differentialrechnung.- § 1. Implizite Funktionen.- Allgemeines..- Geometrische Deutung..- Die Differentiation der implizit gegebenen Funktionen..- Beispiele..- Mehr als zwei Veränderliche..- Beweis für die Existenz und Stetigkeit der impliziten Funktionen..- § 2. Kurven und Flächen in impliziter Darstellung.- Ebene Kurven in impliziter Darstellung..- Singuläre Punkte von Kurven..- Implizite Darstellung von Flächen..- §3. Funktionensysteme, Transformationen und Abbildungen.- Allgemeines..- Einführung neuer krummliniger Koordinaten..- Übertragung auf mehr unabhängige Veränderliche..- Differentiationsformeln für die Umkehrfunktionen..- Zerlegung und Zusammensetzung von Abbildungen und Transformationen..- Allgemeiner Satz über die Umkehrbarkeit einer Transformation und über Systeme von impliziten Funktionen..- Die Abhängigkeit von Funktionen..- Schlußbemerkungen..- § 4. Anwendungen.- Zur Theorie der krummen Flächen..- Konforme Abbi ldung im allgemeinen..- § 5. Kurvenscharen, Flächenscharen und ihre Einhüllenden.- Allgemeines..- Einhüllende einparametriger Kurvenscharen..- Beispiele..- Einhüllende von Flächenscharen..- § 6. Maxima und Minima.- Notwendige Bedingungen..- Beispiele..- Maxima und Minima mit Nebenbedingungen..- Beweis der Multiplikatorenregel im einfachsten Falle..- Verallgemeinerung der Multiplikatorenregel..- Beispiele..- Anhang zum dritten Kapitel.- §1. Hinreichende Bedingungen für Extrema.- §2. Singuläre Punkte von ebenen Kurven.- § 3. Singuläre Punkte von Flächen.- § 4. Die Beziehung zwischen den EULERSCHEN und LAGRANGEschen Darstellungen der Bewegung einer Flüssigkeit.- §5. Tangentialdarstellung einer geschlossenen Kurve.- Viertes Kapitel Integrale von Funktionen mehrerer Veränderlicher.- §1. Gewöhnliche Integrale als Funktionen eines Parameters.- Beispiele und Definitionen..- Stetigkeit und Differenzierbar-keit eines Integrales nach dem Parameter..- § 2. Das Integral einer stetigen Funktion