Algebra - Geeignet zum Selbststudium oder für Online-Vorlesungen

Dieses Buch beinhaltet die Grundlagen der Algebra.

Neben den elementaren algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper wird insbesondere die Galoistheorie zusammen mit ihren Anwendungen auf die Kreisteilungskörper, die endlichen Körper oder die Frage nach der Auflösung von Polynomgleichungen entwickelt.

Besonderes Augenmerk wird dabei auf die natürliche Entwicklung der Inhalte gelegt. Zahlreiche Zwischenerklärungen unterstützen diese Grundidee, zeigen Verbindungen auf und helfen, die zu Grunde liegenden Konzepte besser zu durchdringen.

Das Buch eignet sich deshalb im Besonderen, die Algebra im Selbststudium oder begleitend zu Online-Vorlesungen zu erlernen.

Inhaltsverzeichnis:

Inhaltsverzeichnis1 Motivation und Voraussetzungen1.1 Ziele1.2 Voraussetzungen2 Körpererweiterungen und algebraische Elemente2.1 Körpererweiterungen2.2 Zwischenkörper und algebraische ElementeAufgaben3 Gruppen3.1 Allgemeine Definition und Folgerungen3.2 Untergruppen und GruppenhomomorphismenAufgaben4 Gruppenquotienten und Normalteiler4.1 Äquivalenzrelationen4.2 Gruppenquotienten4.3 Der Satz von Lagrange4.4 Normalteiler und Faktorgruppen4.5 Der Homomorphiesatz für Gruppen4.6 Endliche zyklische GruppenAufgaben5 Ringe und Ideale5.1 Kommutative Ringe mit Eins5.2 Ringhomomorphismen5.3 Einheiten und Nullteiler5.4 Ideale, Faktorringe und der Homomorphiesatz5.5 Primideale und maximale Ideale5.6 Der chinesische Restsatz5.7 Beispiele von Ringen in quadratischen ZahlkörpernAufgaben6 Euklidische Ringe, Hauptidealringe, Noethersche Ringe6.1 Euklidische Ringe6.2 Der euklidische Algorithmus6.3 Noethersche RingeAufgaben7 Faktorielle Ringe7.1 Primelemente und irreduzible Elemente, faktorielle Ring e7.2 EigenschaftenAufgaben8 Quotientenkörper für IntegritätsbereicheAufgaben9 Irreduzible Polynome in faktoriellen Ringen9.1 Inhalt von Polynomen9.2 Reduktion modulo Primelement9.3 Das Gauß Lemma9.4 Anwendung der Reduktion mod ? und Satz von GaußAufgaben 10 Galoistheorie (I) - Satz A und seine Variante A'10.1 Die wundersame Körperschaffung10.2 Der Zerfällungskörper10.3 Der Satz A und A'10.4 Anwendung im Körperturm 10.5 Die GaloisgruppeAufgaben11 Intermezzo - explizites Beispiel ^5 777^ ¸ 7Aufgaben12 Normale Körpererweiterungen12.1 Algebraischer Abschluss12.2 Fortsetzung von Körperhomomorphismen12.3 Normale ErweiterungenAufgaben13 Separabilität 13.1 Motivation und Definition13.2 Formale Ableitung13.3 Charakteristik eines Körpers und Separabilität13.4 Der Separabilitätsgrad13.5 Der Satz vom primitiven ElementAufgaben14 Galoistheorie (II) - der Hauptsatz14.1 Der Hauptsatz - Statement14.2 Ausblick auf eine Anwendung - Mitternachtsformel für alle Grade?14.3 Beweis des Hauptsatzes1 4.4 Beweis des ZusatzesAufgaben15 Kreisteilungskörper15.1 Einheitswurzeln15.2 Kreisteilungskörper und -polynomeAufgaben 16 Endliche Körper16.1 Primkörper, endliche Körper und der Frobenius16.2 Endliche KörperAufgaben17 Mehr Gruppentheorie - Gruppenoperationen und Sylow17.1 Gruppenoperationen17.2 Die Sylowsätze17.3 Anwendungen der Sylowsätze und übliche Tricks17.4 Beweis der SylowsätzeAufgaben18 Auflösbarkeit von Polynomgleichungen18.1 Auflösbare Gruppen18.2 Auflösung von Polynomgleichungen durch Radikale18.3 Die allgemeine Gleichung =-ten GradesAufgabenA Beweis der Existenz eines algebraischen Abschlusses B Tricks und Methoden, um Gruppen einer vorgegebenen Ordnung zu klassifizierenB.1 Standardargumente und BeispieleB.2 Explizite BeispieleSachverzeichnis

Rezension:

"... Das Lehrwerk vermittelt die Grundlagen der Algebra unter besonderer Berücksichtigung und Darstellung der logischen Entwicklung der Fragestellungen und Inhalte und ist der Zielgruppe auch etwa neben den umfassenderen und zugleich auf weiterführenden Vorlesungen der Algebra vorbereitenden Standardwerken von Christian Karpfinger: "Algebra" (zuletzt ID-G 42/17) oder Siegfried Bosch: "Algebra" (zuletzt ID-G 50/03) dienlich." (Philipp Kastendieck, in: ekz-Informationsdienst, Heft 1, 2022)